Cela dépend entièrement de l'objectif et du pays. Par exemple, aux Pays-Bas, un permis de conduire européen est une pièce d'identité tout à fait valable et peut être utilisé, par exemple, pour voter. En France, il n'existe pas de liste exhaustive de ce qui constitue une pièce d'identité, de sorte qu'il n'y a aucune raison pour qu'un permis de conduire ne soit pas accepté par la police (voir cette question sur les expatriés.SE pour une discussion approfondie de ce cas spécifique). Ailleurs, il pourrait ne pas être considéré comme une pièce d'identité valable et les organisations privées partout (par exemple les banques) pourraient également avoir d'autres exigences.
Le problème est que pour voyager à l'étranger, il faut plus qu'une pièce d'identité, il faut quelque chose pour établir votre citoyenneté et prouver votre droit à entrer dans le pays de destination. Un permis de conduire ne suffit pas pour cela. De même, si vous voulez faire usage de votre droit à la libre circulation en tant que citoyen de l'UE, vous devez disposer d'un document qui prouve que vous êtes bien un citoyen de l'UE et qui est généralement un passeport ou une carte d'identité nationale. Si vous voyagez par voie terrestre, vous pourriez vous en tirer sans en avoir un sur vous, mais l'embarquement dans un avion est souvent plus difficile.
J'ai déjà été autorisé à prendre un vol intérieur Schengen avec seulement un permis de conduire et quelques autres documents comme une carte d'assurance maladie du pays de destination (après avoir perdu ma carte d'identité) mais je pense que c'était juste la personne au bureau qui contournait les règles et comptait sur le fait qu'il n'y aurait pas de contrôle à l'autre bout (nous sommes allés au bureau dès que nous avons remarqué que la carte d'identité manquait, nous n'avions pas l'intention de montrer seulement un permis de conduire à l'embarquement).
Enfin, les pays de l'UE reconnaissent les cartes d'identité nationales des autres pays. Ainsi, à moins que vous ne soyez citoyen d'un des pays qui ne les délivrent pas du tout (Danemark, Royaume-Uni), vous n'avez besoin de rien d'autre et c'est vrai dans toute l'UE (pas seulement dans l'espace Schengen, mais aussi au Royaume-Uni, en Irlande, en Bulgarie, en Roumanie, en Croatie, à Chypre, dans l'EEE ou en Suisse, mais pas nécessairement ailleurs en Europe).